靠北清大 2.0

一般來說,，果你聽說某人在研究拓樸，那他指的絕不是點集拓樸，而是像代數拓樸、微分拓樸，或是同倫論 (homotopy)之類的東西；正如 Apostol 提到的一樣，點集拓樸現在多半是作為分析學或是其他數學分支的基礎出現。雖說名為拓樸，但將之視為分析的一部分絕不為過。

至於"真正的"拓樸，似乎都和代數拓樸脫不了干係(當然不全相干)，自從上個世紀拓樸學的祖師爺 Poincare 開始了拓樸學的組合方法以來，拓樸學在許多方向都大有進展.。Poincare可說是開始了同調論 (homology)的研究，簡單說就是利用三角剖分的辦法討論同調群，就是現在說的 simplicial homology；利用這種把幾何問題代數化的手法數學家們解決了許多問題。

後來的(代數)拓樸雖有許多不同的研究方向，但與同調群的計算都脫不了關係；許多"不的"同調理論陸續被研究著，像是 Cech homology, singular homology等等；而代數拓樸中著名的 Eilenberg - Steenrod 定理告訴我們這些看似不同的同調理論本質上其實是一樣的，只是表現的方式不同罷了，在不同的地方選擇方便的同調論即可!

而與同調論息息相關的便是上同調論(cohomology); 所謂上同調就是同調的"對偶"(就像線性空間的對偶空間那樣...)，說成對偶也許會令你感到無聊，因為好像只是把從前同調論的東西換個寫法罷了；事實不然，正如前面提到"不同的"同調論一樣，上同調論也有許多不同的表達方式，其中最有意思的一種便是 de Rham 上同調論。這套上同調論是以微分式來表達的(想想 Stokes定理的樣子)，主要當然是用在光滑流形上；利用微分型式的好處是可以用 wedge product賦予上同調群一個自然的環的結構；此外微分幾何的方法也常常派得上用場！

代數拓樸的另一個重要的方向是同倫論的研究； 一般如果說某人專門研究拓樸，大概就是說他在研究同倫論；同倫與同調的差別在於後者易算但缺乏幾何直觀,而前者則反之；早先這方面的重大成就來自於 H.Hopf，此外還有 J.H.C.Whitehead，他就是引進 CW-complex 的人。

隨著光滑流形的研究，數學家開始利用微積分的辦法研究拓樸，漸漸形成所謂的微分拓樸。Smale, Thom, Milnor 等人都做過不少精采而深入的研究。Smale的工作是廣義 Poincare猜想的研究，利用他的辦法證明了五維以上猜想都是正確的；Thom的研究則是關於 cobordism; J.Milnor 的工作更是不計其數，像是七維球面上的微分結構分類就是大家耳熟能詳的；此外還有像是 Freedman 證明了四維的 Poincare 猜想、Donaldson關於楊 - Mills理論的相關研究等等。近來的重點是在於低維拓樸的探討及一直以來都有人做的"結"論!

有許多微分拓樸上的經典理論無法在這裡提及，僅舉一個最重要且優美的例子介紹，那就是 Morse 理論，這是由偉大數學家 M.Morse 所創的一套理論。主要的想法是利用光滑函數的二次部分來看奇異點附近的狀況(之前我曾介紹過的 Morse 引理)，可以證明每個光滑流形的同倫形都是個 CW-complex(維度不大於流形維度)；之後利用類似的辦法研究流形的迴路空間,進而得出流形的性質；將這套辦法應用在 Lie groups上可以得出著名得 Bott periodicity,這是K-theory 的基本定理。關於這方面有一本精采無比且深入淺出的參考書(應該說是課本)Morse Theory, J.Milnor.

由於篇幅有限，又不能扯太多微分幾何和分析的東西，只能做這樣淺略的介紹，也沒能提到晚近的許多發展，請大家見諒!