靠北清大 2.0

複習一下定義，f:X→Y，a∈X, x∈X, L∈Y

對所有ε>0，存在δ>0，若|x-a|<δ則|f(x)-L|<ε，我們稱f(x)在x=a的極限是L。若L=f(a)，則f(x)在a連續。

反之，若存在ε>0，對所有δ>0，存在x滿足|x-a|<δ但|f(x)-L|>ε，我們稱f(x)在x=a的極限不是L。若對所有L∈Y，L都不是f(x)在a的極限，則稱f(x)在a的極限不存在。

蒐集所有滿足|x-a|<δ的x，就得到a為球心，δ為半徑的開球。蒐集所有滿足|M-L|<ε的M，就得到L為球心，ε為半徑的開球。因此我們可以化簡極限的定義：給定L的任一個開球，都能找到一個a的開球，使得f把a的開球送到Y以後，都在L的球裡，則稱f在a的極限是L。L=f(a)則稱f在a連續。

我們在討論開球的時候，還是用到「距離」的概念。連續函數有一個性質：如果在Y是開集，送回去X也是開集。如果在Y是閉集集，送回去X也是閉集。

有距離，就能定義拓樸。但是有拓樸，不一定能定義距離。有了開集公理，或是閉集公理，我們就能定義拓樸了。這時候，就把連續函數定義成如果在Y是開集，送回去X也是開集。